【已知数列an的前n项和sn求通项公式】在数列的学习中，常常会遇到已知数列的前n项和 $ S_n $，要求求出数列的通项公式 $ a_n $ 的问题。这类题目虽然形式简单，但需要掌握一定的数学技巧和规律，尤其是对数列的定义和性质有清晰的理解。
一、基本思路
数列的前n项和 $ S_n $ 定义为：
$$
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n
$$
而通项公式 $ a_n $ 表示数列的第n项。根据前n项和的定义，我们可以得出：
$$
a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \geq 2)
$$
当 $ n = 1 $ 时，$ a_1 = S_1 $。
因此，求通项公式的基本方法是：利用前n项和的差来求出每一项的值。
二、关键点总结
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ a_n = S_n - S_{n-1} $（n ≥ 2） $ a_1 = S_1 $ |
| 注意事项 | 当 $ n=1 $ 时，直接使用 $ S_1 $ 得到 $ a_1 $；当 $ n≥2 $ 时，用 $ S_n - S_{n-1} $ 计算 $ a_n $ |
| 特殊情况 | 若 $ S_n $ 是一个关于n的多项式，可以尝试代入验证是否符合通项公式 |
| 常见类型 | 等差数列、等比数列、其他非特殊数列 |
三、实例分析
示例1：已知 $ S_n = n^2 $
- $ a_1 = S_1 = 1 $
- $ a_2 = S_2 - S_1 = 4 - 1 = 3 $
- $ a_3 = S_3 - S_2 = 9 - 4 = 5 $
- ...
- 观察得：$ a_n = 2n - 1 $
所以，通项公式为：
$$
a_n = 2n - 1
$$
示例2：已知 $ S_n = 2^n - 1 $
- $ a_1 = S_1 = 2^1 - 1 = 1 $
- $ a_2 = S_2 - S_1 = (4 - 1) - 1 = 2 $
- $ a_3 = S_3 - S_2 = (8 - 1) - (4 - 1) = 4 $
- ...
- 观察得：$ a_n = 2^{n-1} $
所以，通项公式为：
$$
a_n = 2^{n-1}
$$
四、常见误区提醒
| 误区 | 解释 |
| 忽略 $ n=1 $ 的情况 | 必须单独计算 $ a_1 $，不能直接套用 $ S_n - S_{n-1} $ |
| 未验证通项公式 | 应将得到的通项公式代入原前n项和公式中验证是否一致 |
| 不考虑数列类型 | 不同类型的数列（如等差、等比）可能有不同的通项表达方式 |
五、表格总结
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 计算 $ a_1 = S_1 $ | 当n=1时直接取S₁ |
| 2 | 对于 $ n \geq 2 $，计算 $ a_n = S_n - S_{n-1} $ | 利用前后项和的差求出通项 |
| 3 | 整理通项公式 | 将结果整理成统一的表达式 |
| 4 | 验证通项 | 将通项代入前n项和公式进行验证 |
通过以上步骤和方法，可以系统地解决“已知数列前n项和 $ S_n $ 求通项公式 $ a_n $”的问题。理解并掌握这一过程，有助于提升数列相关题目的解题能力。