【数列的极限公式】在数学中，数列的极限是分析学中的一个重要概念，用于描述当数列的项趋于无穷时其变化的趋势。理解数列的极限有助于我们更好地掌握函数的连续性、收敛性以及微积分的基础理论。以下是对常见数列极限公式的总结，并以表格形式展示。
一、数列极限的基本概念
数列是一个按一定顺序排列的数的序列，通常表示为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots $。若当 $ n \to \infty $ 时，数列的项 $ a_n $ 接近某个确定的值 $ L $，则称该数列为收敛数列，并称 $ L $ 为其极限，记作：
$$
\lim_{n \to \infty} a_n = L
$$
如果数列没有极限，则称为发散数列。
二、常见的数列极限公式
| 数列形式 | 极限表达式 | 极限值 | 说明 | ||||
| $ a_n = c $（常数） | $ \lim_{n \to \infty} c $ | $ c $ | 常数数列的极限就是它本身 | ||||
| $ a_n = r^n $（$ | r | < 1 $） | $ \lim_{n \to \infty} r^n $ | $ 0 $ | 当 $ | r | < 1 $ 时，指数衰减趋于0 |
| $ a_n = \frac{1}{n} $ | $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} $ | $ 0 $ | 通项趋近于0 | ||||
| $ a_n = \frac{1}{n^p} $（$ p > 0 $） | $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} $ | $ 0 $ | 幂次越大，趋向0越快 | ||||
| $ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ | $ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ | $ e $ | 这是自然对数底 $ e $ 的定义之一 | ||||
| $ a_n = \frac{n}{n+1} $ | $ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} $ | $ 1 $ | 分子分母同阶，极限为1 | ||||
| $ a_n = \frac{\sin(n)}{n} $ | $ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n)}{n} $ | $ 0 $ | 有界函数除以无穷大仍为0 | ||||
| $ a_n = \sqrt[n]{n} $ | $ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} $ | $ 1 $ | 根号下的增长速度小于指数增长 | ||||
| $ a_n = \frac{n!}{n^n} $ | $ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} $ | $ 0 $ | 阶乘增长远慢于指数增长 |
三、数列极限的性质
1. 唯一性：若一个数列收敛，则它的极限是唯一的。
2. 有界性：若数列收敛，则它是有界的。
3. 四则运算：若 $ \lim_{n \to \infty} a_n = A $，$ \lim_{n \to \infty} b_n = B $，则：
- $ \lim (a_n + b_n) = A + B $
- $ \lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B $
- 若 $ B \neq 0 $，则 $ \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B} $
四、小结
数列的极限是研究数列趋势的重要工具，许多经典的极限公式在数学分析中具有广泛的应用。通过掌握这些公式和性质，可以更深入地理解数列的收敛与发散行为，并为后续学习函数极限、级数等打下坚实基础。
注：本文内容基于基础数列极限知识整理而成，旨在帮助初学者建立清晰的数列极限概念体系。