【三角函数的公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了方便学习和应用，以下对常见的三角函数公式进行了系统总结，并以表格形式呈现。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ = a / c |
| 余弦 | cosθ = b / c |
| 正切 | tanθ = a / b |
| 余切 | cotθ = b / a |
| 正割 | secθ = c / b |
| 余割 | cscθ = c / a |
二、三角函数的基本关系
| 关系类型 | 公式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ, cosθ = 1 / secθ, tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 对应的三角函数值 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
四、和差角公式
| 公式类型 | 公式 |
| sin(A ± B) | sinA cosB ± cosA sinB |
| cos(A ± B) | cosA cosB ∓ sinA sinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角与半角公式
| 公式类型 | 公式 |
| sin2θ | 2 sinθ cosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | (1 - cosθ) / sinθ 或 sinθ / (1 + cosθ) |
六、积化和差与和差化积公式
| 公式类型 | 公式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] | |
| cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
七、反三角函数基础公式
| 函数名称 | 定义域 | 值域 |
| arcsin | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
通过以上总结，可以更清晰地掌握三角函数的核心公式及其应用方式。在实际问题中，灵活运用这些公式能够大大提高解题效率。建议结合具体题目进行练习，以加深理解。